Izleti v matematično vesolje

Bilo je leta 1950. V finalu študentske lige ameriškega nogometa sta igrali ekipi Kalifornije in Ohia. Manj kot minuto pred koncem je bil izid neodločen. Ohio je imel zadnji poskus, da zadane iz prostega strela. Ker pa je trener naredil napako pri menjavi, so točko prostega strela pomaknili za pet jardov dlje od gola. Igralec je kljub temu zadel, Ohio pa je dobil finalno tekmo.

Matematik dr. Boštjan Frelih je bil včasih tudi rokometaš, zato ga zelo zanima uporaba matematike v športu  Foto: Tomaž Primožič/Fpa
Matematik dr. Boštjan Frelih je bil včasih tudi rokometaš, zato ga zelo zanima uporaba matematike v športu  Foto: Tomaž Primožič/Fpa

Po tekmi je neki novinar trenerju očital, da si ne bi smel privoščiti napačne menjave. Trener pa je odgovoril, da je to storil namerno, da bi svojemu strelcu omogočil boljši kot pogleda na obe vratnici gola.

Se je trener zlagal ali govoril resnico? Po dokaj zapletenih matematičnih izračunih dr. Boštjan Frelih ugotovi, da se je zlagal, čeprav mu je novinar brez obotavljanja verjel na besedo.

Frelih je s svojim predavanjem Matematika v športu odprl šesto sezono Izletov v matematično vesolje, ki potekajo na Fakulteti za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije (UP Famnit) v Kopru. Gre za cikel poljudnih predavanj o matematiki in njeni vlogi v sodobnem svetu.

Letos si bodo med drugim ogledali matematično ozadje delovanja spletnih iskalnikov, obravnavali matematiko v ozadju algoritmov računalniškega vida, prikazali matematiko, ki je bila zaslužna za delovanje prvega tomografa in se poučili o matematičnem ozadju planiranja projektov.

Prvo predavanje letošnjega cikla pa je bilo posvečeno primerom uporabe matematike v športu. Frelih je prav letos na Famnitu doktoriral iz matematičnih znanosti, tam pa je že več kot desetletje zaposlen kot asistent pri različnih matematičnih predmetih. Študentje ga imajo radi, zaradi česar je pred dvema letoma prejel tudi nagrado sklada za pedagoško odličnost, ki jo podeljuje Univerza na Primorskem.

Statistika je kot bikini

Da si je izbral prav temo matematike v športu, ne preseneča, saj se je skoraj 20 let aktivno ukvarjal z rokometom. Začel je iskati primere, kje vse se v športu pojavlja matematika.

“Moja prva ideja, ko pomislim na matematiko v športu, je statistika. Beleženje podatkov, rezultatov tekem, rangiranje ekip po uspešnosti, primerjava športnikov v okviru istega športa, beleženje rekordov itd. Na podlagi statističnih podatkov lahko z neko stopnjo verjetnosti napovedujemo tudi rezultate tekem. To pride v poštev tudi pri športnih stavah, ekipa pa se lahko s pomočjo teh podatkov bolje pripravi na nasprotnika. Rokometni vratarji, recimo, zbirajo podatke o igralcih in študirajo, v kateri kot določeni igralec najpogosteje strelja sedemmetrovko,” razlaga Frelih.

Naslednje predavanje iz cikla Izleti v matematično vesolje bo v sredo, 19. novembra, ob 18. uri, v veliki predavalnici UP Famnit na Glagoljaški 8 v Kopru. Predavala bo dr. Arjana Brezigar Masten na temo Ali so fantje bolj nadarjeni za matematiko kot dekleta?

Da pa je statistika podobna bikiniju, ki veliko odkriva, najvažnejše pa ohrani skrito, pove primer nedavne kvalifikacijske nogometne tekme za evropsko prvenstvo med Poljsko in Nemčijo. Nemci so bili boljši v vseh statistično zabeleženih parametrih igre, poleg tega Poljska v 18 medsebojnih tekmah dotlej še nikoli ni premagala Nemčije. Na podlagi teh podatkov bi vsak analitik sklepal na gladko zmago Nemcev, a vendarle so tekmo dobili Poljaki z 2:0.

Katera proga je hitrejša?

Tudi za statistiko igralcev košarke oziroma za izračuni najkoristnejšega igralca tekme - to ni nujno tisti, ki da največ točk - stoji zapletena formula, pri kateri je zagotovo sodeloval kak matematik, je prepričan Frelih. Brez matematike tudi ne moremo odgovoriti na vprašanje, zakaj tekači najboljše rezultate dosegajo na standardnih stadionih svetovne atletske zveze, kjer ima notranja proga ravninska dela dolga po 115,6 metra, dela v zavoju pa po 84,4 metra. Širina proge je 1,22 metra.

Poznamo tudi stadione, kjer so ravni deli in zavoji enako dolgi - vsak po sto metrov. Stadion, ki so ga uporabljali na olimpijskih igrah leta 1895 v Atenah, pa je imel ravninska dela notranje proge dolga po 180 metrov, dela v zavoju pa po 20 metrov.

Zapleten je tudi odgovor na vprašanje, katera od osmih tekaških prog je najhitrejša. “Odgovor na to vprašanje so dobili s pomočjo matematičnega modela za proučevanje vpliva vetra in nadmorske višine na različne proge. V ozadju je bila predvsem uporaba diferencialnih enačb,” pojasni Frelih, ki se je v drugem delu predavanja posvetil različnimi razporeditvam tekem na športnih turnirjih oziroma tekmovanjih, kjer nastopa več ekip. Kakšne vrste matematika stoji v ozadju teh razporeditev, se je vprašal.

“Ko sem bil še majhen, smo se s kolegi odločili, da bomo odigrali teniški turnir. Bilo nas je šest in odločili smo se, da bomo turnir odigrali po krožnem sistemu, mene pa je doletela naloga, da naredim razpored. Takrat še nisem veliko razmišljal o matematiki, tudi interneta še nismo poznali. Zelo hitro sem obupal,” priznava Frelih.

Kako organizirati turnir po krožnem sistemu

Sistem na izpadanje je preprost in poteka relativno hitro, njegova največja slabost pa je ta, da lahko že v prvem krogu dobite zelo dobrega nasprotnika, in tekmovanje je za vas končano. Poznamo tudi dvojni sistem na izpadanje, ki poražencem iz prvega kroga omogoča en poraz.

“Mene pa bolj zanima krožni sistem,” priznava Frelih, ki je razložil, kako postavimo turnir za sodo število ekip, ko igra vsaka z vsako, v enem igralnem dnevu, ki ga imenujemo tudi krog, pa ekipa odigra natanko eno tekmo.

Za štiri ekipe takega sistema ni težko narediti, pa čeprav imamo pri roki le papir in svinčnik. Stvari se začnejo zapletati, ko večamo število ekip. Pogosto uporabljen in najbolj popularen sistem za določanje razporeda tekem na turnirju je t. i. Kirkmanov turnir, ki ga je leta 1846 odkril britanski matematik Thomas Kirkman. Če delamo krožni sistem ali t. i. round-robin za osem ekip, sedem točk enakomerno razporedimo po krožnici, da dobimo oglišča pravilnega sedemkotnika, osmo pa postavimo v središče, ter točkam damo oznake ekip. Na sliki je prikazano, kako povežemo točke, da dobimo razpored za prve tri dni turnirja. Pri tem je bistveno, da je nosilka povezave med točko na krožnici in v središču kroga pravokotna na vse ostale povezave. Razporeditev v drugem krogu dobimo tako, da rotiramo povezave okrog točke v središču kroga v smeri urinega kazalca. Točke pustimo fiksirane, rotiramo le povezave.

Če imamo osem ekip, bo na turnirju po krožnem sistemu 28 tekem, vsak dan po štiri, turnir pa bo trajal sedem dni. Od Kirkmanovega se nekoliko razlikuje Steinerjev turnir, kjer je v ozadju še nekaj več matematike.

Frelih na koncu pove, da je predstavil le majhen del primerov uporabe matematike v športu in izluščil le nekaj že znanih rezultatov, ki jih je dobil v precej velikem številu člankov na to temo. Ker sta šport in matematika ter z njo znanstveno raziskovanje pomemben del njegovega življenja, si želi, da bi v prihodnje tudi sam našel in rešil kakšen problem, ki povezuje ti dve področji.

Glede na število udeležencev in njihov pozitiven odziv je bila izbira tokratne teme dovolj privlačna in zanimiva za široko populacijo. Zagotovo pa bodo tudi ostale zanimive teme, ki bodo v tem študijskem letu prišle na vrsto, našle svojo ciljno publiko. ALJA TASI


Najbolj brano